题目内容
【题目】如图，
的平分线过点
，以点为圆心的圆与
相切于点
，
为
的直径．
（1）求证：
是的切线；
（2）若
，
，求
；
（3）若的半径为
，
，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析，（2）
（3）
【解析】
(1)过点O作OH⊥PB，证明OH=OC即可；
(2)由圆周角定理求出∠COD=2∠E=50°，由切线求出∠COP的度数，∠COD-∠COP即可得到答案；
(3)在Rt△CDE中，由三角函数先求出∠E的度数为30°，进而求出圆心角∠COE=120°，再由扇形面积公式算出扇形COE的面积，再加上等边△CDO的面积及得到阴影部分的面积.
解：(1)证明：过点O作OH⊥PB于H点，如下图所示：
∵AP为圆O的切线，且C为切点
∴CO⊥PC
∵PO为∠APB的角平分线，且CO⊥PC，OH⊥PB
∴OH=OC
故PB是圆O的切线.
(2)∵∠CPO=50°，且CP⊥CO
∴∠COP=90°-50°=40°
又由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知
∠COD=2∠E=2×25°=50°
∴∠POD=∠COD-∠COP=50°-40°=10°.
故答案为：10°.
(3)∵DE为圆O的直径
∴在Rt△DEC中，
∴∠E=30°
∴∠COE=180°-30°-30°=120°
∴扇形COE的面积为：
∴△CDO的面积为：
故阴影部分的面积为：
故答案为：
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