Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°．
（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）理解OA，根据圆周角定理求出∠O，求出∠OAC，即可求出∠OAD=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）求出等边三角形OAC，求出AC，即可求出答案．

解答：解：（1）AD是⊙O的切线，
理由如下：连接OA，
∵∠B=30°，
∴∠O=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=60°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
又∴点A在⊙O 上，
∴AD是⊙O的切线．

（2）∵∠OAC=∠O=60°，
∴∠OCA=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵OD⊥AB，
∴OD垂直平分AB，
∴AC=BC=5，
∴OA=5，
即⊙O的半径为5．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，切线的判定的应用，题目比较好，是一道比较典型的题目．