Question

如图，直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，
（1）求A、B两点的坐标；（用b表示）
（2）图中有全等的三角形吗？若有，请找出并说明理由．
（3）求MN的长．

Answer 1

分析：（1）分别令y=0，x=0来求直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴的交点A、B的坐标；
（2）利用全等三角形的判定定理ASA判定△MAO≌△NOB；
（3）根据全等三角形△MAO≌△NOB的对应边相等推知OM=BN，AM=ON，从而求得MN=ON-OM=AM-BN=7．

解答：解：（1）当y=0时，
x+b=0，
解得，
x=-b，
∴直线y=x+b（b＞0）与x轴的交点坐标A为（-b，0）；
当x=0时，
y=b，
∴直线y=x+b（b＞0）与y轴的交点坐标B为（0，b）；

（2）有，△MAO≌△NOB．理由：
由（1）知OA=OB   …（3分）
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ∴∠AMO=∠BNO=90°…（4分）
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°
∴∠MAO=∠MOB    …（5分）
在△MAO和△BON中

∠MAO=∠MOB ∠AMO=∠BNO OA=OB

∴△MAO≌△NOB   …（7分）

（3）∵△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON
∴MN=ON-OM=AM-BN=7 …（10分）

点评：本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质．解答该题时，注意全等三角形的判定与全等三角形的性质的综合运用．