Question

如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的动点，连接PB和PD得到
△PBD，△PBD的周长的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质

专题：

分析：作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，再求出ED+BD的长即可．

解答：解：如图，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，
则PB+PD=PE+PD，故ED的长就是PB+PD的最小值．
作FD⊥BE，垂足为F，
∵BC=a，
∴BD=

a

2

，BE=2

a2-( a 2 )2

=

3

a，
∵∠DBF=30°，
∴DF=

1

2

BD=

a

4

，BF=

BD2-DF2

=

3

4

a，DE=

EF2+DF2

=

( 3 a- 3 4 a)2+( a 4 )2

=

7

2

a，．
∴△PBD的周长的最小值=ED+BD=

7

2

a+

a

2

=

1+ 7

2

a．
故答案为：

1+ 7

2

a．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．