Question

17．如图，已知?OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（6，8），C（m，0），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）若点E恰好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，求?OBDC的面积；
（3）当m=9时，判断反比例函数图象是否经过CD的中点？若经过，请说明理由；若不经过，求出CD与反比例函数图象的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可；
（3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CDD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

解答 解：
（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点B，
∴k=6×8=48；

（2）∵四边形OBDC为平行四边形，
∴BD=OC=m，且BD∥OC，
∴D（6+m，8），
∵OD、BC的交点为E，
∴E（$\frac{6+m}{2}$，4），
∵E在反比例函数图象上，
∴4×$\frac{6+m}{2}$=48，解得m=18，
∴OC=18，
∴S_{平行四边形OBDC}=18×8=144；

（3）经过．理由如下：
当m=9时，可知D（15，8），C（9，0），
∴线段CD的中点坐标为（12，4），
∵$\frac{48}{12}$=4，
∴反比例函数图象经过CD的中点．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得CD的点点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．