Question

【题目】在中，以为斜边，作直角，使点落在内，．

（1）如图1，若，，，点分别为边的中点，连接，求线段的长；

（2）如图2，若，把绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接并延长交于点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）见详解.

【解析】

（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，由中位线定理即可得到PM；

（2）先利用等角的余角相等判断出∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ全等，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可得到结论成立；

（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=，

∴cos∠BAD=，

∴AB=，

∴AC=AB=12，

∵点P、M分别为BC、AB边的中点，

∴PM=AC=6；

（2）如图2，在ED上截取EQ=PD，

∵∠ADB=90°，

∴∠BDP+∠ADE=90°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，

∴∠AEC=∠ADB=90°

∵∠AED+∠PEC=90°，

∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，

，

∴△BDP≌△CEQ，

∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，

∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，

∴∠EPC=∠PQC，

∴PC=CQ，

∴BP=CP.