Question

如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．
求证：S_{平行四边形ABCD}-S_{平行四边形AEPH}=2S_△AFG．

Answer 1

分析：可把S_△AGD的面积看成

1

2

（S_{平行四边形AEPH}+S_{平行四边形HPGD}）的面积，通过面积之间的转化，即可得出结论．

解答：证明：S_△AFG=S_{平行四边形}-（S_△AGD+S_△GFC+S_△ABF），
=S_{平行四边形}-

1

2

（S_{平行四边形AEPH}+S_{平行四边形HPGD}+S_{平行四边形FPGC}+S_{平行四边形BEPF}+S_{平行四边形AEPH}），
=S平行四边形ABCD-

1

2

(2S平行四边形AEPH+S平行四边形HPGD+S平行四边形FPGC+S平行四边形BEPF)，
=S平行四边形ABCD-

1

2

(S平行四边形AEPH+S平行四边形ABCD)，
=

1

2

（S_{平行四边形ABCD}-S_{平行四边形AEPH}），
∴S_{平行四边形ABCD}-S_{平行四边形AEPH}=2S_△AFG．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质及面积问题，能够通过转化思想解决一些计算、证明问题．