Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点F为DC的中点，E为BC上的一点，且EC＝BC．请说明∠EFA＝90°．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要想说明∠EFA＝90°，只要说明AF2＋EF2＝AE2即可，为了方便地表示线段的长度，可以设出正方形的边长，然后再表示出其他线段的长度． 　　解：设正方形ABCD的边长为4a，则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a． 　　在Rt△ABE中，由勾股定理，得 　　AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2． 　　在Rt△ADF中，由勾股定理，得 　　AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2． 　　在Rt△ECF中，由勾股定理，得 　　EF2＝EC2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2． 　　在△AFE中，AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2． 　　又因为AE2＝25a2， 　　所以AF2＋EF2＝AE2． 　　由勾股定理的逆定理可知：△AFE为直角三角形，且AE为最大边， 　　所以∠EFA＝90°． 　　点评：本题在△ABE、△ADF、△ECF中运用勾股定理分别计算AE2、AF2、EF2的值，而在△AFE中利用AF2＋EF2＝AE2来判定△AFE是直角三角形，则运用的是勾股定理的逆定理．为了简化计算，无论是运用勾股定理还是其逆定理，都不必求出线段的长，只需求出线段长的平方即可．