Question

2．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF沿射线AB方向平移，当D点移动到AB的中点时，
（1）请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
（2）求四边形CDBF的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据图形平移的性质得出AC∥DF，FC∥ED，故四边形CDBF是平行四边形．再根据DF∥AC，∠ACB=90°可得出CB⊥DF，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再由平移的性质得出DF的长，由菱形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）猜想：四边形CDBF是菱形．
∵将△DEF沿射线AB方向移动，
∴AC∥DF，FC∥ED．
∴四边形CDBF是平行四边形．
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴CB⊥DF，
∴四边形CDBF是菱形；

（2）∵∠A=60°，∠ACB=90°，AC=1，
∴∠ABC=30°，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}-{AC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵△DFE由△ACB平移而成，
∴DF=AC=1．
∵由（1）知，四边形CDBF是菱形，
∴S_{四边形CDBF}=$\frac{1}{2}$DF•BC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是菱形的判定与性质，涉及到图形平移的性质及菱形的判定定理，难度适中．