Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．

Answer 1

证明：如图，连接AC、BD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ABC中，EF=AC，
在△ADC中，GH=AC，
∴EF=GH=AC，
同理可得，HE=FG=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH为菱形．
分析：连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可．
点评：本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点．