Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S_△PQE：S_{四边形PQBCD}=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴AB=．
∵D、E分别是AC、AB的中点，AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=BC=4
∴PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB
∴
由题意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，
即，解得t=．
（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，由△PME∽△ABC，得，
∴，得PM=（4﹣t）
S_△PQE=EQ·PM=（5﹣2t）（4﹣t）=t²﹣t+6，
S_梯形DCBE=×（4+8）×3=18，
∴y=18﹣（t²﹣t+6）=t²+t+12．
（3）假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{四边形PQBCD}=1：29，则此时S_△PQE=S_梯形DCBE，
∴t²﹣t+6=×18，
即2t²﹣13t+18=0，解得t₁=2，t₂=（舍去）．
当t=2时，PM=×（4﹣2）=，ME=×（4﹣2）=，EQ=5﹣2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，
∴PQ===．
∵PQdaintyh=，
∴h==（或）．