题目内容
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.
(1)求出cosB的值;
(2)用含y的代数式表示AE;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;
(4)设四边形DECF的面积为S,求出S的最大值.
(1)求出cosB的值;
(2)用含y的代数式表示AE;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;
(4)设四边形DECF的面积为S,求出S的最大值.
分析:(1)根据勾股定理求出AB后,然后根据角的三角函数即可求出结论;
(2)根据题意求证四边形DECF为矩形,即可推出DF=EC=y,然后结合图形即可求出AE=8-y;
(3)根据余角的性质即可推出∠A=∠BDF,继而求证△ADE∽△DBF,结合对应边成比例和BF=4-x,AE=8-y,即可求出y=-2x+8(0<x<4);
(4)根据(3)所推出的结论,结合矩形的面积公式通过等量代换,即可求出二次函数S=DE•DF=-2x2+8x,然后根据二次函数的最值公式即可求出S的最大值.
(2)根据题意求证四边形DECF为矩形,即可推出DF=EC=y,然后结合图形即可求出AE=8-y;
(3)根据余角的性质即可推出∠A=∠BDF,继而求证△ADE∽△DBF,结合对应边成比例和BF=4-x,AE=8-y,即可求出y=-2x+8(0<x<4);
(4)根据(3)所推出的结论,结合矩形的面积公式通过等量代换,即可求出二次函数S=DE•DF=-2x2+8x,然后根据二次函数的最值公式即可求出S的最大值.
解答:解:(1)∵∠C=90°,BC=4,AC=8,
∴cosB=BC:AB=4:4
=
,
(2)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四边形DECF为矩形,
∵DF=y,
∴DF=EC=y,
∵AC=8,AE=AC-EC,
∴AE=8-y,
(3)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠A+∠B=90°,∠BDF+∠ADE=90°,
∴∠A=∠BDF,
∴△ADE∽△DBF,
∴
=
,
∵矩形DECF,DF=y,DE=x,
∴CF=x,CE=y,
∴BF=BC-CF=4-x,
∵AE=8-y,
∴
=
,
∴y=-2x+8(0<x<4),
(4)∵y=-2x+8,DE=x,DF=y,
∴S=DE•DF=xy=x(-2x+8)=-2x2+8x=-2(x2-4x+4)+8,
即S=-2(x-2)2+8,
∴当x=2时,S的值最大,S的最大值为8.
∴cosB=BC:AB=4:4
5 |
| ||
5 |
(2)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四边形DECF为矩形,
∵DF=y,
∴DF=EC=y,
∵AC=8,AE=AC-EC,
∴AE=8-y,
(3)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠A+∠B=90°,∠BDF+∠ADE=90°,
∴∠A=∠BDF,
∴△ADE∽△DBF,
∴
AE |
DF |
DE |
BF |
∵矩形DECF,DF=y,DE=x,
∴CF=x,CE=y,
∴BF=BC-CF=4-x,
∵AE=8-y,
∴
8-y |
y |
x |
4-x |
∴y=-2x+8(0<x<4),
(4)∵y=-2x+8,DE=x,DF=y,
∴S=DE•DF=xy=x(-2x+8)=-2x2+8x=-2(x2-4x+4)+8,
即S=-2(x-2)2+8,
∴当x=2时,S的值最大,S的最大值为8.
点评:本题主要考查相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,矩形的判定与性质,矩形的面积,二次函数的最值等知识点,角的三角函数,关键在于推出AB的长度,求证△ADE∽△DBF,用关于x、y的式子表达出相关的线段,认真的进行计算.
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