Question

如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为

1. A.
   3.74
2. B.
   3.75
3. C.
   3.76
4. D.
   3.77

Answer 1

B
分析：如图，过点E作EH⊥BC于H，根据轴对称的性质就可以求出AG=CD，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．由矩形的性质和勾股定理就可以求出DE，再由△ABF∽△AGE，就可以求出BF的值，在Rt△FHE中由勾股定理就可以求出EF的值．
解答：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∴∠EHC=∠EHF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=4，
∴CD=3，AD=4
∴∠EHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形EHCD是矩形，
∴EH=CD，ED=CH．
∵四边形AFEG与四边形CFED关于EF对称，
∴四边形AFEG≌四边形CFED
∴AG=CD=3，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．
设ED=x，则GE=x，AE=4-x，在Rt△AGE中，由勾股定理，得
9+x²=（4-x）²，
解得：x=，
∴AE=．
∵∠GAE+∠FAE=∠FAE+∠BAF=90°，
∴∠GAE=∠BAF．
∵∠G=∠B=90°，
∴△ABF∽△AGE，
∴，
∴，
∴BF=．
∴FH=4--=．
在Rt△FHE中，由勾股定理，得
EF=．
故选B．
点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时灵活运用勾股定理求解是关键．