Question

如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）

A．3.74

B．3.75

C．3.76

D．3.77

Answer 1

分析：如图，过点E作EH⊥BC于H，根据轴对称的性质就可以求出AG=CD，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．由矩形的性质和勾股定理就可以求出DE，再由△ABF∽△AGE，就可以求出BF的值，在Rt△FHE中由勾股定理就可以求出EF的值．

解答：解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∴∠EHC=∠EHF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=4，
∴CD=3，AD=4
∴∠EHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形EHCD是矩形，
∴EH=CD，ED=CH．
∵四边形AFEG与四边形CFED关于EF对称，
∴四边形AFEG≌四边形CFED
∴AG=CD=3，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．
设ED=x，则GE=x，AE=4-x，在Rt△AGE中，由勾股定理，得
9+x²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

，
∴AE=

25

8

．
∵∠GAE+∠FAE=∠FAE+∠BAF=90°，
∴∠GAE=∠BAF．
∵∠G=∠B=90°，
∴△ABF∽△AGE，
∴

AB

AG

=

BF

GE

，
∴

3

3

=

BF

7 8

，
∴BF=

7

8

．
∴FH=4-

7

8

-

7

8

=

9

4

．
在Rt△FHE中，由勾股定理，得
EF=

15

4

．
故选B．

点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时灵活运用勾股定理求解是关键．