Question

17．如图．在△ABC中．AB=4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC．交于点E．设△ABC的面积为S．△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时．求$\frac{S′}{S}$的值．
（2）若AD=x，$\frac{S′}{S}$=y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
（3）根据y的取值范围，探索S与S′之间的大小关系．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出△ADE和△CDE的面积相等，再根据平行线得出△ADE∽△ABC，推出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²，把AB=2AD代入求出即可；
（2）求出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x²①，$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②，①÷②即可得出答案；
（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，于是得到y=$\frac{S′}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵D为AB中点，
∴AB=2AD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴S_△ADE=S_△CDE=S₁，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S′：S=1：4；

（2）∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=（$\frac{x}{4}$）²，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$x²①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{x}{4-x}$
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{x}{4-x}$②，
①÷②得：
∴y=$\frac{S′}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；

（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，
∴y=$\frac{S′}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴S′≤$\frac{1}{4}$S．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算方法，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．