Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，内切圆O与各边分别切于点D、E、F
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）若AB=6，BC=4，求AC的长和⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先根据切线的性质得出CE=CF，∠OEF=∠OFC=90°，再由∠C=90°即可得出结论；
（2）连接OA，OB，OC，OD，先根据勾股定理求出AC的长，再设⊙O的半径为r，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）证明：∵BC、AC是⊙O的切线，
∴CE=CF，∠OEF=∠OFC=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形OECF为正方形；

（2）连接OA，OB，OC，OD，
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-{BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
设⊙O的半径为r，则S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC+S_△AOB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•r，
即8$\sqrt{5}$=（2$\sqrt{5}$+6+4）r，解得r=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解答此题的关键．