题目内容

在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D
（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为______
（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG= $数学公式$ ，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．

解：（1）M（-6，2）或（2，-2）；

（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
过A作AH⊥DB，如图，

∵A（-2，0），D（0，4），
∴AD= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD=2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴AH=DH= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ，
而PG= $\text{[math]}$ ，
∴DP+BG= $\text{[math]}$ ，
而DH=DP+PH= $\text{[math]}$ ，
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．

（3）DP²+BG²=PG²．理由如下：
把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，连MP，如图，

∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP²+BG²=PM²；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP²+BG²=PG²．
分析：（1）先根据y=2x+4确定A点与D点坐标，然后把AD绕点A顺时针（或逆时针）旋转90°，即把Rt△ADO绕点A顺时针（或逆时针）旋转90°，点D的对应点为点M，利用三角形全等易确定M的坐标；
（2）过A作AH⊥DB，先计算出AD=2 $\text{[math]}$ ，利用正方形的性质得到BD=2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，AH=DH= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ，由PG= $\text{[math]}$ 得DP+BG= $\text{[math]}$ ，则PH=BG，易证Rt△APH≌Rt△PFG，即可得到AP=PF且AP⊥PF；
（3）把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，利用旋转的性质得到∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，AM=AG，则∠MDP=90°，根据勾股定理有DP²+BG²=PM²；由∠PAG=45°，则∠DAP+∠BAG=45°，得到∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，易证得△AMP≌△AGP，得到MP=PG，即有DP²+BG²=PG²．
点评：本题考查了一次函数的综合题：利用一次函数的解析式确定某些线段的长，然后根据正方形的性质、三角形全等的判定与性质以及旋转的性质证明线段的关系．