题目内容

如图,在直角坐标系中,直线AB:y=-
4
3
x+4
分别交x、y轴于点A、B,线段OA上的一动点C以精英家教网每秒1个单位的速度由O向点A运动,线段BA上的一动点D同时以每秒
5
3
个单位的速度由B向A运动.
(1)在运动过程中△ADC与△ABO是否相似?试说明你的理由;
(2)问当运动时间t为多少秒时,以CD为直径的圆与y轴相切?
(3)在运动过程中是否存在某一时刻,使得△OCD与△ACD相似?若存在,求出运动时间;若不存在,说明理由.
分析:(1)先分别求出OA=3,OB=4,则AB=5,设动点C移动的时间为t秒,则AD=5-
5
3
t,AC=3-t,再分别求出AD:AB,AC:AO,可得AD:AB=AC:AO,根据三角形相似的判定方法得到△ADC与△ABO相似;
(2)由(1)得CD⊥OA,通过CD:OB=AC:AO,得到CD=
4
3
(3-t),当CD为直径的圆与y轴相切时,OC等于圆的半径,则CD=2OC,即
4
3
(3-t)=2t,解出t即可;
(3)易知△OCD与△ACD都是直角三角形,分类:当OC:CD=CD:AC时,Rt△OCD∽Rt△DCA;当OC:AC=CD:CD=1,Rt△OCD∽Rt△ACD,然后分别列出t的方程,解方程即可.
解答:精英家教网解:(1)在运动过程中△ADC与△ABO相似.理由如下:
对于y=-
4
3
x+4,令x=0,y=4;令y=0,得x=3,
∴OA=3,OB=4,则AB=5,
设动点C移动的时间为t秒,
∴BD=
5
3
t,OC=t,
∴AD=5-
5
3
t,AC=3-t,
AD
AB
=
5-
5
3
t
5
=
3-t
3

AC
AO
=
3-t
3

∴AD:AB=AC:AO,
∴△ADC∽△ABC;

(2)由(1)得CD⊥OA,并且CD:OB=AC:AO,即CD:4=3:(3-t),
∴CD=
4
3
(3-t),
当CD为直径的圆与y轴相切时,OC等于圆的半径,
∴CD=2OC,即
4
3
(3-t)=2t,
∴t=
6
5
(秒),
即当运动时间t为
6
5
秒时,以CD为直径的圆与y轴相切;

(3)存在.理由如下:
△OCD与△ACD都是直角三角形,
∴当OC:CD=CD:AC时,Rt△OCD∽Rt△DCA,
t
4
3
(3-t)
=
4
3
(3-t)
3-t
,解得t=
48
25

当OC:AC=CD:CD=1,Rt△OCD∽Rt△ACD,
t
3-t
=1,解得t=
3
2

所以运动过程中当时间为
48
25
3
2
秒时,可使得△OCD与△ACD相似.
点评:本题考查了求直线与坐标轴的交点坐标的方法.也考查了三角形相似的判定与性质以及直线与圆相切的判定与性质.
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