Question

17．合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是150件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
（3）现商场规定该文具每天销售量不少于120件，为使该文具每天的销售利润最大，该文具定价多少元时，每天利润最大？

Answer 1

分析 （1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）利用二次函数增减性直接求出最值即可．

解答 解：（1）由题意得，销售量=150-10（x-25）=-10x+400，
则w=（x-20）（-10x+400）
=-10x²+600x-8000；

（2）w=-10x²+600x-8000=-10（x-30）²+1000．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=30时，w_max=1000，
故当单价为30元时，该文具每天的利润最大；

（3）400-10x≥120，
解得x≤28，
对称轴：直线x=30，
开口向下，
当x≤30时，y随x的增大而增大，
∴当x=28时，w_最大=960元．

点评 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-$\frac{b}{2a}$时取得．