题目内容
如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．
（1）直接写出线段AB的长为 ；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；
（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．
（1）直接写出线段AB的长为
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；
（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）过B作BE⊥OA于点E，在Rt△ABE中由勾股定理可求得AB；
（2）利用待定系数法，设直线AB为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可求得k、b的值，可求得直线AB解析式；
（3）由条件可知P为（2，0），BQ=4，可求得CQ=12-4=8，可得到Q点坐标为（8，8），利用待定系数法可求得直线PQ的解析式，联立直线AB和直线PQ的解析式可求得D点坐标；
（4）由题意可知AP=18-t，BQ=2t，AB=10，当AP=AD=18-t时，则有DB=BQ，即有18-t-10=2t；当AP=DP=18-t时，则有DQ=QB=2t，PQ=18-3t，过Q作QM⊥OA于点M；当DP=AD时，则有PQ=AB=10，过Q作QN⊥OA于N；结合勾股定理可得到关于t的方程，可求得t．
（2）利用待定系数法，设直线AB为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可求得k、b的值，可求得直线AB解析式；
（3）由条件可知P为（2，0），BQ=4，可求得CQ=12-4=8，可得到Q点坐标为（8，8），利用待定系数法可求得直线PQ的解析式，联立直线AB和直线PQ的解析式可求得D点坐标；
（4）由题意可知AP=18-t，BQ=2t，AB=10，当AP=AD=18-t时，则有DB=BQ，即有18-t-10=2t；当AP=DP=18-t时，则有DQ=QB=2t，PQ=18-3t，过Q作QM⊥OA于点M；当DP=AD时，则有PQ=AB=10，过Q作QN⊥OA于N；结合勾股定理可得到关于t的方程，可求得t．
解答：解：（1）如图1，过B作BE⊥OA于点E，
∵A为（18，0），B为（12，8），
∴AE=OA-BC=18-12=6，BE=OC=8，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求得AB=10，
故答案为：10；
（2）设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入可得
，
解得
．
故直线AB解析式为y=-
x+24；
（3）当t=2时，则OP=2，BQ=4，
∴CQ=CB-BQ=12-4=8，
∴P点为（2，0），Q点为（8，8），
设直线PQ解析式为y=mx+n，把P、Q两点坐标代入可得
，
解得
．
∴直线PQ解析式为y=
x-
，
联立直线AB和PQ解析式可得
，
解得
．
∴D点坐标为（10，
）；
（4）由题意可知AP=18-t，BQ=2t，AB=10，
当AP=AD=18-t时，则有DB=BQ，即18-t-10=2t，解得t=
；
当AP=DP=18-t时，则有DQ=QB=2t，
∴PQ=PD-DQ=18-3t，
如图2，过Q作QM⊥OA于点M，
则QM=OC=8，OM=CQ=BC-QB=12-2t，
∴PM=OM-OP=12-2t-t=12-3t，
在Rt△PQM中，由勾股定理可得PQ2=PM2+QM2，
即（18-3t）2=（12-3t）2+82，解得t=
；
当DP=AD时，则有PQ=AB=10，如图3，过Q作QN⊥OA于N，则QN=8，
在Rt△PQN中，由勾股定理可求得PN=6，则OP=2，即t=2；
综上可知当t=
或
或2时，△APD为等腰三角形．
∵A为（18，0），B为（12，8），
∴AE=OA-BC=18-12=6，BE=OC=8，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求得AB=10，
故答案为：10；
（2）设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入可得
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解得
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故直线AB解析式为y=-
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（3）当t=2时，则OP=2，BQ=4，
∴CQ=CB-BQ=12-4=8，
∴P点为（2，0），Q点为（8，8），
设直线PQ解析式为y=mx+n，把P、Q两点坐标代入可得
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解得
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∴直线PQ解析式为y=
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联立直线AB和PQ解析式可得
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解得
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∴D点坐标为（10，
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（4）由题意可知AP=18-t，BQ=2t，AB=10，
当AP=AD=18-t时，则有DB=BQ，即18-t-10=2t，解得t=
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当AP=DP=18-t时，则有DQ=QB=2t，
∴PQ=PD-DQ=18-3t，
如图2，过Q作QM⊥OA于点M，
则QM=OC=8，OM=CQ=BC-QB=12-2t，
∴PM=OM-OP=12-2t-t=12-3t，
在Rt△PQM中，由勾股定理可得PQ2=PM2+QM2，
即（18-3t）2=（12-3t）2+82，解得t=
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当DP=AD时，则有PQ=AB=10，如图3，过Q作QN⊥OA于N，则QN=8，
在Rt△PQN中，由勾股定理可求得PN=6，则OP=2，即t=2；
综上可知当t=
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点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理、图象的交点等知识点的综合应用．求函数解析式时求得点的坐标是解题的关键，在（4）中分三种情况利用t表示出相应线段的长度，并找到线段之间的关系是解题的关键．注意方程思想和分类讨论思想的应用．
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B、
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D、
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