Question

【题目】 已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（-2，0），B（0，-4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，BP交x轴于点E，且S△PBO=S△PBC，求证：E是OC的中点；

（3）在（2）的条件下求点P的坐标．

（4）在（2）的条件下拋物线上是否存在点D，使△ACD的面积与△ABP的面积相等？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-4；（2）见解析；（3）P（6，8）；（4）存在，D点坐标为（6，8）或（-4，8）

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OG=CF，证明△OEG≌△CEF，得OE=CE，则E是OC的中点；

（3）可得OE=CE=2，根据三角函数列式可得P的坐标；

（4）根据S△ABP=S△AEP+S△AEB可求出△ABP的面积，则面积相等可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式可得D点的坐标．

解：（1）把点A（-2，0），B（0、-4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；

（2）当y=0时，x2-x-4=0，

解得：x=-2或4，

∴C（4，0），

如图1，过O作OG⊥BP于G，过C作CF⊥BP于F，

∵S△PBO=S△PBC，

∴，

∴OG=CF，

∵∠OEG=∠CEF，∠OGE∠CFE，

∴△OEG≌△CEF（AAS），

∴OE=CE，

即E是OC的中点；

（3）设P（x，x2-x-4），如图2，过P作PM⊥y轴于M，

tan=，

∴BM=2PM，

∴4+x2-x-4=2x，

x2-6x=0，

x1=0（舍），x2=6，

∴P（6，8），

（4）∵OE=2，OA=2，

∴AE=OA+OE=4，

∴S△ABP=S△AEP+S△AEB==24，

∵AC=6，△ACD的面积与△ABP的面积相等，

∴，

∴|yD|=8，

∴yD=±8，

当时，

解得x1=6，x2=-4，

∴D1（6，8），D2（-4，8），

当时，方程没有实数根，

综合可得D点坐标为（6，8）或（-4，8）．