Question

20．如图，抛物线y=x²+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE=$\frac{3}{2}$．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC=2AD时，c的值是$\frac{9}{2}$或$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 设A（2m，3m）、B（2n，3n），当OC=2AD时，能找出点D为线段BC中点，从而得出m、n间的关系，将A、B点坐标代入抛物线与抛物线对称轴x=2m联立方程组，解方程组即可求得c的值．

解答 解：由tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，可设A、B点坐标分别为（2m，3m）、（2n，3n），
∵AD∥OC，
∴∠ADB=∠OCB，∠DAB=∠COA，
∴△BAD∽△BOC．
∵OC=2AD，
∴D点为线段BC的中点，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D点横坐标为$\frac{0+2n}{2}$=n，
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，
∴n=2m，
∴B点坐标为（4m，6m），
∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{3m=4{m}^{2}+2bm+c}\\{6m=16{m}^{2}+4bm+c}\\{-\frac{b}{2}=2m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{b=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\\{c=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∵c＞0，
∴c=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据OC=2AD找到A、B点坐标的关系．