Question

9．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过$\widehat{BC}$的中点P作⊙O的直径PG交弦$\widehat{BC}$于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求tan∠BAC的值；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，若KG=2，KP=6，求CK的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据垂径定理得到PG⊥BC，则BD垂直平分OP，于是可判断△OBP为等边三角形，所以∠BOP=60°，然后估计圆周角定理得到∠BAC=∠BOP=60°；
（2）由垂径定理得到PD⊥BC，CD=BD，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，CD=$\sqrt{15}$，再根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是$\widehat{BC}$的中点，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°．
∵D为OP的中点，
∴BD垂直平分OP，
∴BP=BO，
而OB=OP，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠BOP=60°，
∴∠BAC=∠BOP=60°，
∴tan∠BAC=$\sqrt{3}$；
（2）∵点P是$\widehat{BC}$的中点，
∴PD⊥BC，CD=BD，
∵KG=2，KP=6，
∴OB=OP=4，
∴DK=DP=3，
∴OD=1，
∴BD=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CD=$\sqrt{15}$，
∴CK=$\sqrt{C{D}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{15}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，准确的理解题意是解题的关键．