Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能达到点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）试说明：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，请建立y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（3）如果△ADE是等腰三角形时，你能否求出AE的长，如果能请把它求出来．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，BC=2，
∵∠ADC=∠1+∠B=∠ADE+∠2且∠ADE=45°=∠B，
∴∠1=∠2，∴△ABD∽△DCE．

（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴y=x+2（0＜x＜2）．

（3）△ADE为等腰三角形
①若AD=DE，则△ABD≌△DCE，
∴CD=AB=2，
∴2-x=2，
∴x=2-2，
∴AE=y=4-2．
②若AD=AE，则∠AED=∠ADE=45°，
∴∠DAE=90°即D与B重合，舍去．
③若AE=DE，则∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠DEA=90°，∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，DE⊥AC，
∴AE=AC=1，
∴AE=4-2或1．
分析：（1）由相似三角形的判定定理AA判定△ABD∽△DCE；
（2）利用（1）中的△ABD∽△DCE，推知它们的对应边成比例，即，据此列出关于x、y的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，需要分类讨论：①当AD=DE，由△ABD≌△DCE的对应边CD=AB=2列出关于x的方程，求得x的值；最后将其代入（2）中的函数关系式求得AE的值；②当AD=AE时，D与B重合，舍去；③若AE=DE，在直角三角形中求AE的长度．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形．根据相似三角形得出的相关线段成比例来求线段的长是解题的关键．