Question

12．已知关于x的一元二次方程x²+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）设方程两根为x₁，x₂是否存在实数a，使${x_1}^2+{x_2}^2=1$？若存在求出实数a，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=2²-4×（a-2）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，x₁•x₂=a-2，利用x₁²+x₂²=1得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=1，即可得到ad的值，然后解出a的值后利用（1）中的条件进行判断．

解答 解：（1）∵b²-4ac=（-2）²-4×1×（a-2）=12-4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；

（2）由根与系数的关系得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=a-2，
又∵${x_1}^2+{x_2}^2=1$∴${（{{x_1}+{x_2}}）^2}-2{x_1}{x_2}=1$，
有（-2）²-2（a-2）=1，
∴$a=\frac{7}{2}$，
∵$\frac{7}{2}＞3$，
∴不存在实数a，使${x_1}^2+{x_2}^2=1$成立．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．