Question

【题目】如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠A＝60°，点P为AD边上任意一点，连接PB，并将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PB′．

（1）当∠DP B′＝20°时，∠ABP＝____________；

（2）如图2，连结BB′，点P从A运动到D的过程中，求△PBB′面积的取值范围；

（3）若点B′恰好落在ABCD边AD或BC所在的直线上时，直接写出AP的长．（结果保留根号，不必化简）

图1 图2

Answer 1

【答案】(1) 10°或50°;(2) S△PBB′ ;（3）AP=2.5或.

【解析】分析：

（1）根据题意需分点B′在平行四边形ABCD外部和内部分别进行分析讨论：①当点B′在平行四边形外部时，如图1，由题意易得∠BPB′=90°，结合∠DPB′=20°可得∠BPD=70°，由此可得∠APB=110°结合∠A=60°即可得到∠ABP=10°；②如图2，当点B′在平行四边形内部时，由题意易得∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，结合∠DPB=∠A+∠ABP即可求得∠ABP的度数；

（2）由题意可知△PBB′是等腰直角三角形，故当其直角边最短时，其面积最小，而当其直角边最长时，其面积最大，由①BP⊥AD时，PB最小；②PB与BD重合时，PB最大这两种情况进行分析计算即可求得所求的取值范围；

（3）画出相应的图形，结合已知条件进行分析解答即可.

详解：

（1）由题意可知：存在点B′在平行四边形ABCD外部和内部两种情况，现分别讨论如下：

①当点B′在平行四边形ABCD外时，

∵∠DPB=∠B′PB﹣∠B′PD=90°﹣20°=70°，

∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=70°﹣60°=10°，

图1

②当点B′在平行四边形ABCD内时，

∵∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，

∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=110°﹣60°=50°，

综上所述，当∠DPQ=20°时，∠APB=10°或50°．

（2）①如图3，显然当BP⊥AD时，BP最小，

∵∠A=60°，AB=5，

∴AP=2.5，

∴此时BP最小=，

∴此时S△PBB′=

②如图4，显然当P与D重合时，BP最大。

过P点作PE⊥AB于点E，求得：PE=，BE=1，则BP=7.

∴此时S△PBB′=，

综上：S△PBB′.

（3）AP=2.5或

①当点B′在AD上时，如图3，由（2）可知，此时AP=2.5；

②当点B′在直线BC上时，如图5，作BE⊥AD于点E，

∴∠AEB=∠PEB=90°，

∵∠A=60°，AD∥BC，

∴∠ABE=30°，∠CBE=120°，

∴AE=AB=2.5，BE=，∠CBE=90°，

∵△BPB′是等腰直角三角形，

∴∠CBP=45°，

∴∠PBE=45°，

∴PE=BE=，

∴AP=2.5+；

综上所述，当点B′在直线AD或直线BC上时，AP的长为2.5或2.5+；