Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AE=8，CE=12，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵CD平分∠ECB，BC=BD，
∴∠ECD=∠BCD，∠BCD=∠D，
∴∠ECD=∠D，
∴CE∥BD，
∵CE⊥AB，
∴BD⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD为⊙O的切线；

（2）连接AC，设半径为R，
∴OE=R-8，
∵CE⊥AB，
∴∠CEO=90°，
∴OC²=OE²+CE²，
即R²=（R-8）²+12²，
解得：R=13，
即⊙O的半径为13．
分析：（1）要证明BD是⊙O的切线，由已知条件转化为证明BD⊥AB即可；
（2）连接OC，设半径为R，在Rt△CEO中，利用勾股定理求解．
点评：本题考查了切线的判定定理以及勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大．