Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B（12，4），点D（3，0），点E（0，2），过点D作DF⊥DE，交AB于点F，连结EF，将△DEF绕点E逆时针方向旋转，旋转角度为θ（0°＜θ＜180°）．

（1）求tan∠DFE．

（2）在旋转过程中，当△DFE的一边与直线AB平行时，求直线AB截△DFE所得的三角形的面积．

（3）在旋转过程中，当∠DFE的两边所在直线与y轴围成的三角形为等腰三角形时，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）如图1，作辅助线，构建相似三角形，根据相似比求DG的长，利用勾股定理分别求DE和DF的长，由三角函数定义计算tan∠DFE的值；
（2）分三种情况：
①当ED∥AB时，如图2，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△FGH，
②当DF∥AB时，如图3，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△AGE，
③当EF∥AB时，如图4，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△DGH，
代入面积公式求出面积即可；
（3）分四种情况：
①如图5，当GF=EF=时，根据三角函数得：tan∠G=，则，设FH=a，GH=3a，则GF=a，求出a的值，写出F的坐标；
②当GF=GE时，如图6，作辅助线，证明△EFH≌△FED，求FH和OH的长，写出F的坐标；
③当FG=EF=时，如图7，求DG的长，利用勾股定理求EG=，利用面积法求FH的长，写出F的坐标；
④当EG=EF=时，如图8，根据tan∠DFE=tan∠DGE==，设FH=3b，GH=4b，则FG=5b，
求出b的值，计算OH和FH的长，写出F坐标．

试题解析：（1）如图1，过F作FG⊥OC于G，则FG=4，

∵点D（3，0），点E（0，2），

∴OE=2，OD=3，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∴∠EDO+∠FDC=90°，

∵∠EOD=90°，

∴∠OED+∠EDO=90°，

∴∠OED=∠FDC，

∵∠EOD=∠FGD=90°，

∴△FDG∽△DEO，

∴，

∴，

∴DG=，

由勾股定理得：DF===，

ED==，

在Rt△DEF中，tan∠DFE===；

（2）分三种情况：

①当ED∥AB时，如图2，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△FGH，

∵DF⊥DE，

∴AB⊥DF，

∴DH=AE=2，

∴FH=DF﹣DH=﹣2，

由tan∠F==得： =，

∴GH=，

∴S=S△FGH=GHFH=×（﹣2）=﹣2；

②当DF∥AB时，如图3，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△AGE，

tan∠AEG==，

∴，

∴AG=，

∴S=S△AGE=AGAE=××2=；

③当EF∥AB时，如图4，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△DGH，

∴∠F=∠DGH，

tan∠F=tan∠DGH==，

设DH=3x，DG=4x，则GH=5x，

过D作DM⊥EF，交GH于N，交EF于M，

∴DN=x，N=AE=2，

在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF===，

S△EDF=DEDF=EFDM，

×=×DM，

DM=，

由DN+MN=DM，得： +2=，

x=，

S=S△DGH=DH×DG=×4x×3x=6x2=6×（）2=﹣；

（3）分四种情况：

①如图5，当GF=EF=时，

过F作FH⊥y轴于H，则GH=EH，

Rt△GED中，tan∠G==，

∵ED=，GD=FG+DF=+=3，

∴==，

设FH=a，GH=3a，则GF=a，

∴a=，

a=，

∴FH=，

OH=OE+HE=2+3×=+2=，

∴F（，）；

②当GF=GE时，如图6，

过F作FH⊥y轴于H，

∴∠DFE=∠FEG，

∵∠FHE=∠FDE=90°，EF=EF，

∴△EFH≌△FED，

∴FH=ED=，HE=DF=，

∴OH=EH+OE=+2=，

∴F（﹣，）；

③当FG=EF=时，如图7，

DG==，

Rt△DEG中，

EG===，

过F作FH⊥y轴于H，

∵FG=EF，

∴GH=EH=，

∴OH=+2=，

S△EGF=GEFH=FGDE，

FH=×，

FH=，

FH=，

∴F（﹣，）；

④当EG=EF=时，如图8，

∴∠DFE=∠DGE，

∵ED⊥GF，

∴DF=DG=，

∴FG=2DF=，

tan∠DFE=tan∠DGE==，

设FH=3b，GH=4b，则FG=5b，

则5b=，

b=，

∴FH=3b=3×=，GH=4b=4×=，

∴OH=OE+EG﹣GH=OE+EF﹣GH=2+﹣=，

∴F（﹣，）．

综上所述，点F的坐标为或或（﹣，）或（﹣，）．