Question

如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形ABCD的边长为1cm，FG=4cm，GH=3cm，设正方形移动的时间为x秒，且0≤x≤2.5．
（1）直接填空：DG=

（4-x）

cm（用含x的代数式表示）；
（2）连结CG，过点A作AP∥CG交GH于点P，连结PD．
①若△DGP的面积记为S₁，△CDG的面积记为S₂，则S₁-S₂的值会发生变化吗？请说明理由；
②当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

Answer 1

分析：（1）根据GF=4cm，正方形ABCD的边长为1cm，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，得出正方形移动的时间为x秒时，表示出DG的长即可；
（2）①首先得出△CDG∽△PGA，进而得出PG的长，进而表示出△DGP的面积S₁，△CDG的面积S₂，即可得出S₁-S₂的值；
②首先得出∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，即可得出PG=DG，进而得出x的值，求出PD=

DG

cos45°

，得出即可．

解答：解：（1）由题意可得出：DG=（4-x）；

（2）①答：S₁-S₂不会发生变化．
如图1，
∵AP∥CG，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠PGA=90°，
∴△CDG∽△PGA，
∴

DG

GA

=

CD

PG

，即

3-x

4-x

=

1

PG

，
∴PG=

4-x

3-x

，
∵S1=

1

2

DG×PG=

1

2

(3-x)×

4-x

3-x

=

1

2

(4-x)，
S2=

1

2

DG×CD=

1

2

(3-x)×1=

1

2

(3-x)，
∴S1-S2=

1

2

(4-x)-

1

2

(3-x)=

1

2

．
②如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵直线PD⊥AC，
∴点P在对角线BD所在的直线上，
∴∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，
∴PG=DG，
即：

4-x

3-x

=3-x，
整理得 x²-5x+5=0，
解得x1=

5- 5

2

，x2=

5+ 5

2

，
经检验：x₁，x₂都是原方程的根，
∵0≤x≤2.5，
∴x=

5- 5

2

，
∴DG=PG=3-x=3-

5- 5

2

=

1+ 5

2

，
在Rt△DGP中，PD=

DG

cos45°

=

2

DG=

2 + 10

2

．
故答案为：（3-x）．

点评：此题主要考查了四边形的综合应用以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法，注意自变量的取值范围得出DG的长是解题关键．