Question

8．已知关于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实数根分别为x₁，x₂，求代数式3x₁x₂-（x₁+x₂）²的最大值．

Answer 1

分析 （1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据方程有实数根得出m的取值范围即可；
（2）利用根与系数的关系得出x₁x₂与x₁+x₂的表达式，进而可得出结论．

解答 解：（1）关于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3可化为x²-（2m-6）x+m²-4m+3=0，
∵此方程有实数根，
∴△≥0，即△=[-（2m-6）]²-4（m²-4m+3）=-8m+24≥0，解得m≤3；

（2）∵方程的两实数根分别为x₁，x₂，
∴x₁x₂=m²-4m+3，x₁+x₂=2m-6，
∴3x₁x₂-（x₁+x₂）²=3（m²-4m+3）-（2m-6）²=3m²-12m+9-4m²-36+24m=-m²+12m-15，
∴最大值为$\frac{4×（-1）×（-15）-{12}^{2}}{4×（-1）}$=$\frac{60-144}{-4}$=21．

点评 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数；（3）△＜0?方程没有实数根．