Question

18．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80-x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．

解答 解：（1）∵四边形EGFH为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80-x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（3）设EF=x，EG=y，
∵△AEF∽△ABC
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{x}{120}$=$\frac{80-y}{80}$
∴y=80-$\frac{2}{3}$x
∴矩形面积S=xy=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400（0＜x＜120）
故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm²．

点评 本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．