题目内容
（2009•西城区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值？若存在，求出来；若不存在，说明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k•DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示）．
【答案】分析：（1）由于S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF，用含a的代数式表示S四边形BCEF=12-a，而0≤a＜4，即S四边形BCEF存在最大值12，S四边形BCEF不存在最小值；
（2）延长BC，FE交于点P，构造等腰三角形PEB，利用正方形的性质和中点的性质求得PB的长后，由勾股定理求得a的值．则可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=
；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．
解答：
解：（1）如图，连接BE，
S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=42-
×4×a-
×2×（4-a）=12-a，
∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a＜4，
∴当点F与点A重合时，a=0，S四边形BCEF存在最大值12．
S四边形BCEF不存在最小值．
（2）如图，延长BC，FE交于点P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴
=
=1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF=
=
．
∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2，
∴
=22+（4-a）2整理，得3a2-16a+16=0，
解得，a1=
，a2=4；
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=
，tan∠AFB=
=3．
（3）延长BC，FE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴
=
=
，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF=
=
．
∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2，
∴（
）2=（
）2+（4-a）2整理，
×
=（4-a）2，
（k+1）2=
，
解得a=
，
∴tan∠AFB=
=2k+1（k为正数）．
点评：本题利用了正方形的性质，中点的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．
（2）延长BC，FE交于点P，构造等腰三角形PEB，利用正方形的性质和中点的性质求得PB的长后，由勾股定理求得a的值．则可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=
；求得tan∠AFB的值；（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．
解答：
解：（1）如图，连接BE，S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=42-
×4×a-
×2×（4-a）=12-a，∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a＜4，
∴当点F与点A重合时，a=0，S四边形BCEF存在最大值12．
S四边形BCEF不存在最小值．
（2）如图，延长BC，FE交于点P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴
=
=1，PF=2EF．∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF=
=
．∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2，
∴
=22+（4-a）2整理，得3a2-16a+16=0，解得，a1=
，a2=4；∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=
，tan∠AFB=
=3．（3）延长BC，FE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴
=
=
，PF=（k+1）EF．∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF=
=
．∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2，
∴（
）2=（
）2+（4-a）2整理，
×
=（4-a）2，（k+1）2=
，解得a=
，∴tan∠AFB=
=2k+1（k为正数）．点评：本题利用了正方形的性质，中点的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．
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