Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）直线CE与⊙O相切。

    证明：∵四边形ABCD是矩形  ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE

       ∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90

∴∠AE0+∠DEC=90   ∴∠OEC=90   ∴直线CE与⊙O相切。

（2）∵tan∠ACB=，BC=2  ∴AB=BC∠ACB= AC=

又∵∠ACB=∠DCE  ∴tan∠DCE=   ∴DE=DC•tan∠DCE=1

方法一：在Rt△CDE中，CE=，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，即  解得：r=

方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=

       在Rt△AMO中，OA=