如图.已知抛物线y=a与x轴从左至右依次交于A.B两点.与y轴交于点C.经过点B的直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与抛物线的另一交点为D.且点D的横坐标为-5．(1)求抛物线的函数表达式,(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点.连接PD.PB.求△PBD面积的最大值,(3)设F为线段BD上一点.连接AF.一动点M从点A出发.沿线段AF以每秒1个单位的速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图，已知抛物线y=a（x+2）（x-4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值；
（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

分析（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得a的值；
（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再确定出最大值；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+$\frac{1}{2}$DF．如图，作辅助线，将AF+$\frac{1}{2}$DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

解答解：（1）抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b经过点B（4，0），
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4+b=0，解得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直线BD解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当x=-5时，y=3$\sqrt{3}$，
∴D（-5，3$\sqrt{3}$），
∵点D（-5，3$\sqrt{3}$）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，
∴a（-5+2）（-5-4）=3$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴抛物线的函数表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$

（2）设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{9}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$）
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}$×9[（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）-（$\frac{\sqrt{3}}{9}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$）]
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+10$\sqrt{3}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{81\sqrt{3}}{8}$

∴△BPD面积的最大值为$\frac{81\sqrt{3}}{8}$；
（3）如图，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵由（2）得，DN=3$\sqrt{3}$，BN=9，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FG=DF×sin30°=$\frac{1}{2}$FD，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t=AF+$\frac{1}{2}$FD=AF+FH，
∵l_BD：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴F_x=A_x=-2，F（-2，2$\sqrt{3}$）
∴当F坐标为（-2，2$\sqrt{3}$）时，用时最少．