Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=3，点P为AD边上的一动点（异于A、D），Q为BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△PDF；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似．
（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值．

解答：（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）解：同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=（

x

3

）²，

S△DPE

S△ADQ

=（

3-x

3

）²，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=

1

2

×[3-（

x

3

）2×3-（

3-x

3

）2×3]
=

1

2

（-

2

3

x²+2x）
=-

1

3

x²+x．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识．