Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是点B的直线，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F且∠CBD=∠ADE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若AB=1，tan∠CDF=，求CD的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠CBD=∠ADE，∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC，
∴=，
∵∠BOE=∠AOD，
∴BE=AD，
∴；

（3）解：∵AB=1，∴ED=1，BO=DO=，
∵BO=AO=DO，
∴∠ODA=∠A=∠E，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠ODA=∠A=∠E=∠CDF，
∵tan∠CDF=，
∴tan∠DEB==，
∵=，
∴=，
∴设CD=x，BC=3x，
∵BO²+BC²=CO²，
∴（）²+（3x）²=（+x）²，
解得：x=，
∴CD的值为：×=2．
分析：（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明BC⊥AB即可；
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知=，进而得出AD=BE，即可得出；
（3）根据已知得出DE是⊙O的直径，进而得出BO，DO的长，再利用（2）中相似的性质以及勾股定理求出即可．
点评：本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于已知条件推出△BDC∽△EBC．