Question

如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是

10＜a≤10

2

．

Answer 1

分析：根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z²-az+

a2-100

2

=0中，最后由根的判别式求得a的取值范围．

解答：解：∵M是AB的中点，MC=MA=5，
∴△ABC为直角三角形，AB=10；
∴a=AC+BC＞AB=10；
令AC=x、BC=y．
∴

x+y=a x2+y2=100

，
∴xy=

a2-100

2

，
∴x、y是一元二次方程z²-az+

a2-100

2

=0的两个实根，
∴△=a²-4×

a2-100

2

≥0，即a≤10

2

．综上所述，a的取值范围是10＜a≤10

2

．
故答案为：10＜a≤10

2

．

点评：本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点．