Question

如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

(1)求证：△APQ∽△CDQ；

(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC？

Answer 1

(1)∵ABCD为矩形，

∴AB∥CD，CD=AB=20，AD=BC=10，∠ADC=∠ABC=90°.

∴∠APQ=∠CDQ，∠PAQ=∠DCQ，AC==10.

∴△APQ∽△CDQ.

(2)当t=5时，DP⊥AC.

∵∠ADC=90°，

∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°.

又∵∠DAQ=∠CAD，∴△ADQ∽△ACD.

∴=，则AQ===2.

∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，

∴△AQP∽△ABC.

∴=，则=，解得t=5.

即当t=5时，DP⊥AC.