Question

26、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上的一个动点，PE⊥AB，PF⊥CD，CM⊥AB，垂足分别为E、F、M，则PE、PF、CM三者间存在怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析：画图作辅助线PN⊥CM，由题意PE⊥AB，CM⊥AB，所以四边形EPNM为矩形，根据PN∥AB可以得出∠NPC=∠ABC，进而得出∠CPN=∠PCF，有PC为公共边，可以得出Rt△CPN和Rt△PCF全等，即CN=PF，即可得出结论：PE+PF=CM．

解答：解：PE+PF=CM．
证明：
如图所示，作PN⊥CM，因为PE⊥AB，CM⊥AB，所以四边形EPNM为矩形，
所以PE=MN，PN∥AB，
故∠NPC=∠ABC．
由等腰梯形ABCD得∠ABC=∠BCD．
所以∠CPN=∠PCF．
在Rt△CPN和Rt△PCF中，∠PNC=∠CFP=90°，∠CPN=∠PCF，PC=PC，
所以△CPN≌△PCF，
所以CN=PF，即PE+PF=MN+CN=CM．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，对于特殊的图形，要求熟练的掌握各个知识点，这是解题的关键．