Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．求证：
（1）BM∥GH；
（2）BM⊥CF．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠A=∠EBH=90°，AD=BC，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠AED=∠BEH，
∴△AED≌△BEH，
∴AD=BH，
∴BC=BH，即点B为CH的中点，
又点M为CG的中点，
∴BM为△CGH的中位线，
∴BM∥GH．

（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，
又∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴AE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
∴AE=DF，
∴△AED≌△DFC，
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠DCF+∠CDE=90°，∴∠CGH=90°，
∵BM∥GH，
∴∠CMB=∠CGH=90°，
∴BM⊥CF．