Question

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

Answer 1

解：（1）如图1，连接OB。

∵BC=2，OC=1，∴OB=。
∴B（0，）。
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式，
得 ，解得： 。
∴抛物线的解析式为。
（2）存在。如图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P。

∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，
得；解得。
∴P（）。
（3）如图3，作MH⊥轴于点H。设M（ ），

则S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA﹣S_△OAB
=
=。
∵，
∴ 
= 。
∴当时，取得最大值，最大值为。

解析