Question

21、（1）证明：奇数的平方被8除余1．
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．

Answer 1

分析：（1）设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），算出其平方，进一步利用分析解答即可；
（2）利用（1）的结论，把2006和10个奇数的平方之和都除以8，计算余数即可判定．

解答：解：设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），则（2n+1）²=4n²+4n+1，
只要证得8能整除（4n²+4n）即可，
显然4能整除（4n²+4n），而n²与n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），
因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，
即奇数的平方被8除余1．
（2）由（1）可知10个奇数的平方之和被8除余数为2，
2006除以8余数为6，两数被8除余数不同，
也就证明2006不能表示为10个奇数的平方之和．

点评：此题主要利用整除数的性质，数的奇偶性以及有余数的除法解决问题．