Question

14．如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接CE、BE、DE．过点C作CE的垂线交BE于点F．CE=CF=1，DF=$\sqrt{6}$．下列结论：①△BCF≌△DCE；②EB⊥ED；③点D到直线CE的距离为2；④S_{四边形DECF}=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$．其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识一一判断即可．

解答 解：在正方形ABCD中，
BC=CD，∠BCD=90°，
∵∠EACF90°，
∴∠BCF=∠DCE，
在△BCF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
故①正确；
∵△BCF≌△DCE，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠DEB=∠BCD=90°，
∴BE⊥ED，
故②正确，
过点D作DM⊥CE，交CE的延长线于点M，
∵∠ECF=90°，
FC=EC=1，
∴∠CEF=45°，
∵∠DEM+∠CEB=90°，
∴∠DEM=∠EDM=45°，
∴EM=DM，
∴由勾股定理可求得：EF=$\sqrt{2}$，
∵DF=$\sqrt{6}$，
∴由勾股定理可求得：DE=2，
∵EF²+BF²=2BF²=BE²，
∴DM=EM=$\sqrt{2}$，故③错误，
∵△BCF≌△ADCE，
∴S_△BCF=S_△DCE，
∴S_△DCE+S_△DCF
=S_△ECF+S_△DEF
=S_△AEP+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$，故④正确，
故答案为①②④

点评 本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．