Question

15．已知关于x的方程x²-（k+1）x+2（k-1）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（k-3）²≥0，由此即可证出无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）分b=c与b≠c两种情况考虑，当b=c时，利用△=（k-3）²=0可求出k值，将k值代入原方程求出b、c的值，利用三角形三边关系可得知此情况不符合题意；当b≠c时，将x=4代入原方程求出k值，将k值代入原方程求出b、c的值，再根据三角形的周长公式即可得出结论．

解答 （1）证明：△=[-（k+1）]²-4×1×2（k-1）=k²+2k+1-8k+8=k²-6k+9=（k-3）²，
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，△=（k-3）²=0，
解得：k=3，
此时原方程为x²-4x+4=0，
解得：b=c=2．
∵2+2=4，即b+c=a，
∴2、2、4不能组成三角形；
当b≠c时，将x=4代入原方程得16-4（k+1）+2（k-1）=0，
解得：k=5，
此时原方程为x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
∵2+4＞4，
∴2、4、4能组成等腰三角形，
∴△ABC的周长=4+4+2=10．

点评 本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）找出根的判别式△=（k-3）²≥0；（2）分b=c与b≠c两种情况考虑求出方程的解．