Question

【题目】如图，在中，，，、分别在、上，连接、交于点，且．

（1）如图1，求证：．

（2）如图2，是的中点，试探讨与的位置关系．

（3）如图3，、分别是、的中点，若，，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE⊥CF，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．

解：（1）在△ACE和△BCD中，

，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，记AE与CF的交点为M，

在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由（1）知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC=2 ，
∴BC=AC=2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF= ，

同理：EG=，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=，
∴S△CEF=CEFH=×1×=，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF=CFME=×ME=ME，
∴ME=，
∴ME=，
∴GM=EG-ME=，
∴S△CFG=CFGM=××．