Question

如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠A=30°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求线段AC的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接BD，由BC为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可证得BD⊥AC，又由D是AC中点，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BC，又由等边对等角，可求得∠ACB的大小；
（2）在Rt△BCD中，由特殊角的三角函数，即可求得CD的长，继而求得线段AC的长．

解答：解：（1）连接BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即BD⊥AC，
∵D是AC中点，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A=30°；

（2）在Rt△BCD中，∠ACB=30°，BC=3，
∴CD=BC•cos30°=

3 3

2

，
∵D是AC中点，
∴AC=2CD=3

3

．

点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．