Question

3．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC与点D，点E为AC边的中点，BC=8；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据锐角三角函数的定义求出AB的长，连接BE，则线段BE的长即为QE+QC最小值．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AC=8，
连接BE，
∵AD平分∠BAC，
∴AD是BC的中垂线，即QB=QC，
∴线段BE的长即为QE+QC最小值，
∵点E是边AC的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=4，BE⊥AC，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴QE+QC的最小值是4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．