Question

（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？

Answer 1

分析：（1）（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义解答；（3）由前两问提供的思路，进一步推理．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则
∠1+∠2=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×（180°-40°）=70°．
故∠BOC=180°-70°=110°；

（2）因为∠A的外角等于180°-40°=140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2=

1

2

×（360°-140°）=110°，
∠B′O′C′=180°-110°=70°；

（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A=n°时，∠BOC=180°-[（180°-n°）÷2]=90°+

n°

2

，
∵∠A′=n°，∠B′O′C′=180°-[360°-（180°-n°）]÷2=90°-

n°

2

，
∴∠A+∠A′=90°+

n°

2

+90°-

n°

2

=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
所以当∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．

点评：此题是一道探索性题目，通过前两题的解答过程提供的思路，便可解答．