Question

19．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，CD=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，利用AD⊥DE可判定OC∥AD，则∠2=∠3，加上∠3=∠1，所以∠1=∠2，于是可判定BC=CF；
（2）先利用勾股定理计算出AE=10，设⊙O的半径为r，利用OC∥AD可得到$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，解得r=$\frac{15}{4}$，然后求出r后计算AE-AB即可．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵DE为切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OC=OA，
∴∠3=∠1，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，
∴BC=CF；
（2）解：在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
设⊙O的半径为r，
∵OC∥AD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{AE}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，解得r=$\frac{15}{4}$，
∴BE=AE-AB=10-2×$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．会运用相似比和勾股定理计算线段的长．