Question

12．如图，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，一块直角三角板直角顶点与D重合，绕D转动，直角三角板的两直角边分别与AB，AC交于E、F．
（1）（如图1）若AB=AC，直角三角形在转动过程中是否始终有DE=DF，并说明理由．
（2）（如图1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
（3）（如图1）若AB=AC，求证：BE²+CF²=EF²．
（4）（如图2）若AB≠AC，是否仍然有BE²+CF²=EF²成立？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=BD=DC，证出∠EDA=∠CDF，由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，DE=DF即可；（2）证出BE=AF，根据勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根据三角形面积公式即可得出结果．
（3）由（1）得：AE=CF，BE=AF，由勾股定理即可得出结论．
（4）延长ED至G，使GD=ED，连接CG，则DF垂直平分EG，由线段垂直平分线的性质得出EF=GF，由SAS证明△BDE≌△CDG，得出BE=CG，∠B=∠DCG，证出∠FCG=90°，由勾股定理即可得出结果．

解答 （1）解：始终有DE=DF，理由如下：
连接AD，如图1所示：
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠CDF}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠EAD=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，DE=DF；
（2）解：∵AB=AC，AE=CF，
∴BE=AF=12，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=13，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED²+DF²=EF²=13²，
DE=DF=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴△DEF的面积S=$\frac{1}{2}$×DE×DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{13\sqrt{2}}{2}$×$\frac{13\sqrt{2}}{2}$=$\frac{169}{4}$；
（3）证明：∵AB=AC，∠CAB=90°，
由（1）得：AE=CF，BE=AF，
∴BE²+CF²=AF²+AE²=EF²．
（4）解：BE²+CF²=EF²成立；理由如下：
延长ED至G，使GD=ED，连接CG、FG，如图2所示：
则DF垂直平分EG，
∴EF=GF，
在△BDE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}&{\;}\\{∠BDE=∠CDG}&{\;}\\{ED=GD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠B=∠DCG，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCG+∠ACB=90°，
即∠FCG=90°，
∴CG²+CF²=GF²，
∴BE²+CF²=EF²．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．